?

Log in

No account? Create an account

Интересное в сети

Интересное в мире

Previous Entry Поделиться Next Entry
Степени десяти
avtomat_kx
Как понять, что такое десять, сто, тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион и так далее.

Важной составляющей моего научного багажа является умение думать об окружающем мире в широком диапазоне величин и временных шкал. Это подразумевает, во-первых, способность оперировать степенями десяти; во-вторых, умение представлять информацию в широком диапазоне величин на графиках с использованием логарифмических шкал; и в-третьих, должное понимание того, какой смысл имеют шкалы величин, такие, как шкала децибел для громкости звука или шкала Рихтера для силы землетрясений.

Этот арсенал должен быть частью мышления каждого, но, к несчастью, я обнаруживаю, что даже хорошо образованные, но не занимающиеся наукой люди приходят в замешательство при виде логарифмических шкал и лишь смутно ухватывают разницу между землетрясениями магнитудой 6 и 8 баллов по шкале Рихтера (выброс энергии во втором случае в тысячи раз больше). Мыслить степенями десяти — это настолько базовый навык, что его следует преподавать наряду с целыми числами в начальной школе.

Меня беспокоит, что студенты, которым я преподаю, утрачивают навык оценивать, используя степени 10. Когда я был студентом, для вычислений я использовал логарифмическую линейку, а теперь студенты используют калькуляторы. Логарифмическая линейка позволяет выполнить длинную последовательность умножений и делений, прибавляя или вычитая логарифмы чисел; но в итоге степени десяти необходимо вычислять путем подсчета в уме. Калькулятор отслеживает это за вас, но если вы сделаете ошибку при наборе числа, вы можете просчитаться на несколько порядков, что зачастую случается со студентами, у которых нет чувства порядков величины.

Конечная причина, почему знакомство со степенями десяти улучшило бы когнитивные способности каждого, заключается в том, что это помогает нам понять жизнь и мир, в котором мы живем.

Сколько секунд составляют человеческую жизнь? 10^9 с.
Секунда — это произвольная единица времени, но на ней строится наш повседневный опыт. Так, наша зрительная система получает образы со скоростью 3 в секунду в результате быстрых движений глаз, называемых саккадами. За счет доли секунды спортсмены нередко выигрывают или проигрывают соревнования. Если бы каждую секунду вашей жизни вы зарабатывали доллар, вы были бы миллиардером. Однако секунда может показаться минутой во время выступления перед публикой, а спокойные выходные пролетают в одно мгновение. Ребенку кажется, что лето длится бесконечно, а взрослому — что лето заканчивается, не успев начаться. Уильям Джеймс предположил, что восприятие времени измеряется в необычных переживаниях, которых с возрастом становится меньше. И быть может, жизнь проходит по логарифмической временной шкале, сжатой к концу.

Чему равен мировой ВВП? $10^14.
Миллиард долларов был когда-то огромными деньгами, но сегодня существует длинный список мультимиллиардеров. Одолжив банкам несколько триллионов долларов, правительство США не так давно стимулировало мировую экономику. Сложно осознать, сколько представляет собой триллион долларов (10^12), хотя несколько удачных роликов в YouTube (запрос trillion dollars) демонстрируют это на примере материального сопоставления (огромная куча стодолларовых банкнот) и того, что можно на эти деньги купить (10 лет ответных действий США на 9 сентября).

Что такое Гуголплекс
Гугол — это 10^100, то есть единица и сто нулей. Гуголплекс — это 10^10^100, то есть десять в степени гугол (большие числа называются по модели «n-плекс» для 10^n). Поскольку гугол превосходит число всех элементарных частиц известной человеку части Вселенной (около 2,5×10^85, то есть на 15 порядков меньше), гуголплекс чисто физически невозможно записать, не прибегая к помощи степеней, в рамках в десятичной системы счисления. Даже если записывать его минимальным, фактически нечитаемым первым кеглем (высота символа — 0,353 мм), понадобится 3,5×10^96 м.

Между тем диаметр известной человеку части Вселенной составляет всего 8,8×10^26 (или 93 млрд световых лет). Таким образом, если записывать гуголплекс в строчку, нужно будет в 4×10^69 больший отрезок, чем диаметр Вселенной. В научный оборот понятия гугол и гуголплекс ввел Эдвард Каспер, а самим термином «гугол» мы обязаны его 9-летнему племяннику Милтону Сиротте, который также дал определение гуголплекса: «Единица, а потом пишешь нули, пока сил хватает». Чтобы получить невообразимо большее, чем гуголплекс, число, достаточно возвести десять в степень гуголплекс. Такое число называется гуголплексплекс. Операцию можно продолжать до бесконечности. На иллюстрации — число гуголплексплексплексплексплексплексплексплексплексплекс.

Сколько синапсов в головном мозге человека? 10^15.
Два нейрона сообщаются друг с другом в синапсе, который является вычислительной единицей мозга. Типичный синапс коры головного мозга в диаметре меньше микрона (10^-6), почти на пределе разрешения светового микроскопа. Если уж мировая экономика слишком обширна, чтобы охватить ее в уме, то представить все синапсы в голове — уму непостижимо. Если бы мне давали доллар за каждый синапс в моем мозге, я мог бы поддерживать текущую мировую экономику на протяжении 10 лет. Нейроны коры головного мозга в среднем возбуждаются раз в секунду, что предполагает пропускную способность этого человеческого органа около 10^15 бит в секунду, больше, чем суммарная пропускная способность опорной сети интернета.

Сколько секунд будет светить Солнце? 10^17 с.
Наше Солнце светит уже миллиарды лет — и еще миллиарды лет будет светить. В пределах нашей жизни Вселенная кажется остановившейся, однако в больших временных шкалах Вселенная полна событий чудовищной силы. Ну а наша пространственно-временная траектория — всего лишь крошечная часть этой Вселенной, однако по крайней мере мы можем привязать к ней степени десяти и представить ее в перспективе.